Transversalité, courants et théorie de Morse : un cours de topologie différentielle
Ce cours de Topologie Différentielle s'adresse à des étudiants en Master de mathématiques.
Il suppose bien connus la topologie générale et le calcul différentiel dans R<sup>n</sup>. Il étudie les objets
de base attachés au concept de variété différentiable.
Les trois premiers chapitres donnent une présentation classique et rapide des variétés et de leurs
espaces tangents. Les formes différentielles et les champs de vecteurs sont introduits en insistant
sur les formules de changement de coordonnées. La formule de Stokes en découle aisément. Le
calcul dit de Lie-Cartan relie les formes différentielles et les champs de vecteurs. La cohomologie
des formes différentielles est mise en place mais, dans un premier temps, seule la cohomologie
en degré maximal est complétement étudiée.
Le but du cours est d'introduire la théorie de Morse et de montrer qu'avec une fonction de
Morse f sur une variété M , munie d'un gradient adapté, on peut obtenir des résultats forts de
topologie algébrique, tels que le calcul de la cohomologie de M et la dualité de Poincaré. Les
courants de De Rham, ou formes différentielles à coefficients distributions, offrent un bon outil
pour atteindre le but fixé. Le fait nouveau utilisé dans ce cours est que les variétés stables des
points critiques de f pour le gradient sont des courants malgré leur complexité a priori comme
sous-variétés ouvertes de M. Les théorèmes de transversalité de Thom, qui font l'objet d'un chapitre,
ont de nombreuses applications en topologie différentielle, en particulier en théorie des
singularités. Ils donnent la densité des fonctions de Morse, mais surtout l'existence de champs de
gradient Morse-Smale, qui justement permettent la construction du fameux complexe de rang
fini, aujourd'hui appelé complexe de Morse, lequel calcule la cohomologie de M.
