La théorie des groupes finis est une théorie formidable, qui n'a pas fini de révéler tous ses

trésors. Elle fascine le spécialiste comme le débutant et éclaire de ses lumières des territoires

aussi variés que l'arithmétique, la géométrie, la cryptographie ou l'imagerie médicale. Qui

d'entre nous n'a pas entendu parler du Monstre de Fischer-Griess ou du groupe du cube de

Rubik ? Qui n'a pas espéré un jour découvrir le chemin initiatique par excellence pour

apprendre les mathématiques correspondant à ces objets, ou plus simplement les choses

les plus essentielles en matière de groupes finis ? L'enseignement en faculté, bien que

largement supérieur en la matière à celui des classes préparatoires, ne fait au fond qu'effleurer le sujet. À peine survole-t-on en ces lieux les p -Sylow, les suites de Jordan-Hölder, et une

fois sur deux l'on omet de travailler les produits semi-directs.

Certes, Alain Debreil ne parle dans son livre ni du Monstre, ni du cube de Rubik, mais il

ne fait l'impasse sur aucun des thèmes fondateurs de la théorie des groupes, et mieux, il en

dévoile les arcanes grâce aux treillis des sous-groupes... Des groupes abéliens aux groupes

linéaires, en passant par tous les groupes de cardinal < 33, il nous fait faire le tour des

choses, nous informant sur le centre, le groupe dérivé, le Frattini, le groupe des automorphismes, etc. Grâce à un travail gargantuesque qui en appelle à l'informatique, à la

patience et à un grand souci pédagogique, l'auteur renouvelle l'enseignement du sujet,

nous livre une myriade de secrets que les anciens gardaient jalousement dans leurs

grimoires, et que les logiciels modernes, malgré leur puissance, n'aident pas à discerner

pour autant. Nous disposons ainsi d'un atlas fantastique de treillis enrichis d'informations

de première main, de graphes de Cayley dessinés d'une touche de maître, mais aussi d'un

nombre considérable d'exercices originaux et d'autres plus classiques, toujours choisis

pour leur intérêt et corrigés avec détail et grand soin.