Problèmes classiques en théorie des équations aux dérivés partielles : master 1 et 2, écoles d'ingénieurs
Ce cours d'analyse est consacré à l'exposition d'un certain nombre de thèmes
classiques en théorie des équations aux dérivées partielles et il s'adresse à des
étudiants de master, des élèves en écoles d'ingénieurs ou à tous ceux qui
désirent connaître cette partie importante des mathématiques. Ce travail part
du théorème d'Existence et d'Unicité pour les solutions d'équations différentielles
non-linéaires, aborde la résolution des équations scalaires linéaires du
1<sup>er</sup> ordre (la méthode employée est celle des courbes caractéristiques) et
s'intéresse ensuite aux équations scalaires quasi-linéaires. La transformation
de Fourier, présentée au chapitre 6, est très importante car elle permet de
résoudre les équations à coefficients constants de la forme P(u) = F où P est
un opérateur différentiel en (t, x). Les équations des ondes, de la chaleur et de
Schrödinger sont toutes de ce type et font l'objet d'une résolution très
détaillée au moyen de formules explicites. À la fin, on quitte le domaine des
équations à coefficients constants pour celui des équations à coefficients
variables. Les méthodes employées pour résoudre ces équations donnent
lieu à des développements très importants et font largement partie du domaine
de la recherche.
