Leçons sur le calcul des variations
Leçons sur le calcul des variations
Table des matières
Notions préliminaires
Maxima et minima des fonctions de plusieurs variables. Formes quadratiques.
Des équations différentielles. Équations aux variations.
I - La position du problème
La méthode de Lagrange. Définition des variations.
La notion de voisinage.
II - La variation première et les conditions du premier ordre
Transformation fondamentale et lemme fondamental.
L'extremum libre (conditions du premier ordre) dans le cas des limites fixes.
La formule aux limites et les propriétés analytiques des extrémales.
Cas des limites variables. Variables unilatérales. Solutions discontinues.
Problèmes isopérimétriques.
Le problème de Mayer.
Généralisations. Le calcul fonctionnel.
III - Les conditions de l'extremum libre
La méthode de Jacobi-Clebsch.
La méthode de Weierstrass et les conditions suffisantes de l'extremum.
Conditions nécessaires. Exemples.
Limites variables. Solutions discontinues et variations unilatérales.
Cas des dérivées d'ordre supérieur.
Retour aux méthodes anciennes.
Le minimum strict et le théorème d'Osgood.
Note
Sur les fonctions implicites.
