Mémoires de la Société mathématique de France, n° 173. On mod p local-global compatibility for GLn (Qp) in the ordinary case
Soient p un nombre premier, n > 2 un entier, et F un corps à multiplication complexe dans lequel p est complètement décomposé. Supposons qu'une représentation galoisienne automorphe continue r : Gal(Q/ F ) → GL<sub> n </sub>(F<sub> p </sub>) est triangulaire supérieure, Fontaine-Laffaille et suffisament générique (dans un certain sens) en une place w au-dessus de p. On montre, en admettant un résultat d'élimination de poids de Serre prouvé dans [47], que la classe d'isomorphisme de r |<sub>Gal(Q<sub> p </sub>/ F<sub>w</sub> )</sub> est déterminée par l'action de GL<sub> n </sub>( F<sub>w</sub> ) sur un espace de formes automorphes modulo p découpé par l'idéal maximal associée à r dans une algèbre de Hecke. En particulier, on montre que la partie sauvagement ramifiée de r |<sub>Gal(Q<sub> p </sub>/ F<sub>w</sub> )</sub> est déterminée par l'action de sommes de Jacobi (vus comme éléments de F<sub> p </sub>[GL<sub> n </sub>(F<sub> p </sub>)]) sur cet espace.
Let p be a prime number, n > 2 an integer, and F a CM field in which p splits completely. Assume that a continuous automorphic Galois representation r : Gal(Q/ F ) → GL<sub> n </sub>(F<sub> p </sub>) is upper-triangular and satisfies certain genericity conditions at a place w above p , and that every subquotient of r |<sub>Gal(Q<sub> p </sub>/ F<sub>w</sub> )</sub> of dimension > 2 is Fontaine-Laffaille generic. In this paper, we show that the isomorphism class of r |<sub>Gal(Q<sub> p </sub>/ F<sub>w</sub> )</sub>is determined by GL<sub> n </sub>( F<sub>w</sub> )-action on a space of mod p algebraic automorphic forms cut out by the maximal ideal of a Hecke algebra associated to r . In particular, we show that the wildly ramified part of r |<sub>Gal(Q<sub> p </sub>/ F<sub>w</sub> )</sub> is determined by the action of Jacobi sum operators (seen as elements of F<sub> p </sub>[GL<sub> n </sub>(F<sub> p </sub>)]) on this space.
