Est-il possible de caractériser l'espace euclidien tridimensionnel

qui s'offre si immédiatement à l'intuition physique au moyen

d'axiomes mathématiques simples et naturels ? Plus généralement,

est-il possible de caractériser les espaces de Bolyai-Lobatchevskii

à courbure constante négative, ainsi que les espaces de Riemann à

courbure constante positive, à l'exclusion de toute autre géométrie

contraire à une intuition directe ?

À une époque (1830-1850) où l'émergence nécessaire des

géométries dites non-euclidiennes devenait incontestable, c'est

Riemann qui a soulevé cette question profonde et difficile dans

son discours d'habilitation (1854), sans chercher, toutefois, à

la résoudre complètement. Helmholtz (1868) l'interprétera en

conceptualisant le mouvement des corps dans l'espace et il tentera

d'établir rigoureusement que le caractère métrique et localement

homogène d'un espace se déduit d'axiomes de mobilité maximale

pour des corps rigides.

Mais il fallut attendre les travaux de Sophus Lie, et notamment

la Theorie der Transformationsgruppen (2100 pages, 1884-1893)

écrite en collaboration avec Friedrich Engel, pour qu'une solution

complète et rigoureuse soit apportée à ce fascinant problème, à

la fois au plan local et au plan global. L'introduction historique,

philosophique et mathématique ainsi que la traduction que nous

proposons ici aspirent à faire connaître un aspect de l'oeuvre

monumentale de Sophus Lie qui demeure essentiellement peu

évoqué au sein de la philosophie traditionnelle géométrique.