Mémoires de la Société mathématique de France, n° 175. On the pro-p Iwahori Hecke Ext-algebra of SL2(Qp)
Soit G = SL<sub>2</sub>(F) où F est une extension finite Q<sub> p </sub>. On suppose que le sous-groupe d'Iwahori I de G est un groupe de Poincaré de dimension d . Soit k un corps contenant le corps résiduel de F
Dans cet livre, nous étudions la Ext-algèbre graduée
E * = Ext*<sub>Mod( G )</sub>( k [ G / I ], k [ G / I ]).
Sa composante de degré zero est la k -algèbre de Hecke du pro- p Iwahori H .
Nous étudions le H -bimodule E<sup>d</sup> et déduisons que, étant donnée une k -représentation irréductible admissible lisse V de G , on a H<sup>d</sup> ( I, V ) = 0 à moins que V ne soit la représentation triviale.
Lorsque F = Q<sub> p </sub> avec p ≥ 5, on a d = 3. Dans ce cas, nous décrivons le H -bimodule E* et la structure d'algèbre du centralisateur dans E* du centre de H . Nous en déduisons des résultats quant aux valeurs du foncteur qui attache à une k -représentation lisse (de longueur finie) V de G l'espace de I-cohomologie H * ( I, V ). Nous montrons que H *( I, V ) est toujours de dimension finie. De plus, si V est irréductible, alors V est supersingulière si et seulement si H * ( I, V ) est un module supersingulier.
Let G = SL2(F) where F is a finite extension of Q<sub> p </sub>. We suppose that the pro- p Iwahori subgroup I of G is a Poincaré group of dimension d . Let k be a field containing the residue field of F.
In this book, we study the graded Ext-algebra
E * = Ext*<sub>Mod( G )</sub>( k [ G / I ], k [ G / I ])
Its degree zero piece E <sup>0</sup> is the usual pro- p Iwahori-Hecke k -algebra H .
We study E<sup>d</sup> as an H -bimodule and deduce that for an irreducible admissible smooth k-representation V of G , we have H<sup>d</sup> ( I, V ) = 0 unless V is the trivial representation.
When F = Q<sub> p </sub> with p ≥ 5, we have d = 3. In that case we describe E * as an H -bimodule and give the structure as an algebra of the centralizer in E * of the center of H . We deduce results on the values of the functor which attaches to a (finite length) smooth k-representation V of G its cohomology with respect to I . We prove that H * ( I, V ) is always finite dimensional. Furthermore, if V is irreducible, then V is supersingular if and only if H * ( I, V ) is a supersingular H -module.
