La théorie générale des processus et de l'intégrale stochastiques est

rarement enseignée en master 1 ou en école d'ingénieurs. Cependant la

modélisation stochastique a de plus en plus souvent besoin de modèles

discontinus faisant appel à cette théorie. Par ailleurs, si on extrait des

grands traités les seules notions de théorie générale nécessaires à la

construction de l'intégrale stochastique et à l'obtention de la formule

d'Ito, on aboutit à un texte qui peut être à la fois de taille raisonnable et

abordable au niveau du master.

Rendre plus accessible un domaine jusque-là réservé aux seuls spécialistes,

par des démonstrations très détaillées et commentées et la présence de

nombreux exercices corrigés, est l'ambition de cet ouvrage.

Après une introduction situant le contexte et donnant les grandes lignes

de la construction de l'intégrale stochastique, trois chapitres présentent

des rappels et des compléments sur l'intégration classique, les martingales

et la topologie générale. Le vrai point de départ de la théorie est

le théorème de capacité de Choquet. Les théorèmes de sections optionnelles

et prévisibles de Meyer en découlent facilement. On peut alors

définir les projections optionnelles et prévisibles, établir leurs propriétés et

démontrer le célèbre théorème de Doob-Meyer. Ce dernier résultat, avec

celui concernant la décomposition des martingales locales, constitue la

clé de la définition de l'intégrale stochastique. La covariation des semi-martingales

et la formule d'Ito (donc le calcul stochastique) dérivent à

leur tour de l'existence et des propriétés de l'intégrale stochastique.