Ce manuel présente la partie Analyse des programmes 2004 des

classes de spéciales MP/MP*. Il s'adresse donc aux étudiants de ces

classes ainsi qu'à ceux des premiers cycles scientifiques des

universités. Il pourra aussi rendre service aux candidats aux concours

de recrutement, CAPES et agrégations interne et externe.

Ce livre est constitué :

- d'un exposé du cours et de ses démonstrations ;

- d'un grand nombre d'exemples détaillés, d'exercices corrigés et

non corrigés.

L'ouvrage débute par l'introduction des notions de normes et

distances, puis par l'étude des suites et séries dans les espaces de

Banach. On développe ensuite les notions de topologie indispensables

à l'étude des fonctions continues et la dérivation des fonctions

vectorielles d'une variable réelle, avec leurs applications à l'étude

des suites et séries de fonctions.

La notion d'intégrale sur un segment, introduite en première année,

est ensuite complétée par l'étude de l'intégrale sur un intervalle

quelconque, puis par l'étude des intégrales dépendant d'un

paramètre, parmi lesquelles la fonction Gamma d'Euler.

On présente ensuite les principaux exemples de séries de fonctions :

ce sont les séries entières, les séries trigonométriques et les séries de

Fourier des fonctions périodiques dont l'usage est fréquent dans les

différents domaines scientifiques.

Les équations et systèmes différentiels, dont l'importance est

centrale pour la modélisation des problèmes issus d'autres

disciplines, sont traités de façon approfondie dans le cas linéaire, et

on expose quelques résultats et exemples concernant le cas non

linéaire.

L'ouvrage s'achève par l'étude des fonctions différentiables, des

notions de dérivée suivant un vecteur et de dérivées partielles dans

une base. On en présente quelques applications aux problèmes

d'extrema et d'équations aux dérivées partielles, et on donne

quelques éléments concernant les formes différentielles, les

intégrales curvilignes et les intégrales multiples.