Le rêve d'Euclide : promenades en géométrie hyperbolique
Tout commence, 300 ans avant notre ère, avec Euclide,
personnage aussi mystérieux que fondamental. Dans
ses fameux Éléments qui, jusqu'à une époque récente,
constitueront le socle des mathématiques modernes,
Euclide y énonce un certain nombre d'axiomes, dont
un plus «costaud» que les autres : «Par un point du plan
pris hors d'une droite, il passe dans ce plan exactement
une parallèle à cette droite.» Or, cet axiome sonne
plutôt comme un théorème, et un théorème, pour tout
mathématicien qui se respecte... ça se démontre !
Et les ennuis commencent pour des générations entières
de mathématiciens, qui, les uns après les autres, vont
s'épuiser dans d'impossibles démonstrations.
Il faudra attendre le XVII<sup>e</sup> siècle pour que certains esprits
plus libres, plus inventifs, adoptent un point de vue
libérateur où, par un point du plan pris hors d'une droite,
il passe... deux parallèles à cette droite ! Du jamais vu !
Bienvenue en géométrie hyperbolique, un monde qui a
inspiré autant les mathématiciens que les artistes, et qui a
initié le développement de l'informatique. Rien que cela !
