Mémoires de la Société mathématique de France, n° 181. Complexe de modules équivariants sur l'algèbre de Steenrod associés à un (Z/2)n-cw-complexe fini
Soient V un 2-groupe abélien élémentaire et X un V -CW-complexe fini
Dans ce mémoire nous étudions deux complexes de modules sur A, l'algèbre de Steenrod modulo 2, munis d'une action compatible de H* V , la cohomologie modulo 2 de V, complexes tous deux associés à X. Le premier, que nous appelons le « complexe topologique », est défini à l'aide de la filtration par les orbites de X. Le second, que nous appelons le « complexe algébrique », est défini en termes de la structure de H* V -A -module instable dont est munie H*<sub> V </sub>X , la cohomologie modulo 2 équivariante de X (ce qui signifie que nous pouvons remplacer dans cette définition H*<sub> V </sub>X par un H* V -A -module instable arbitraire). Ces deux complexes sont de longeur dim<sub>ℤ/2</sub> V et peuvent être coaugmentés par H*<sub> V </sub>X ; nous construisons en outre un morphisme k du complexe algébrique vers le complexe topologique compatible avec la coaugmentation.
Nous montrons en particulier que ces deux complexes coaugmentés sont acy-cliques si et seulement si H*<sub> V </sub>X est libre comme H* V -module. Dans ce cas k est un isomorphisme.
Let V be an elementary abelian 2-group and X be a finite V-CW-complex.
In this memoir we study two cochain complexes of modules over the mod 2 Steenrod algebra A equipped with a compatible action of H* V , the mod 2 cohomology of V , both associated with X. The first, which we call the « topological complex, » is defined using the orbit filtration of X. The second, which we call the « algebraic complex, » is defined in terms of the unstable H* V -A -module structure of H*<sub> V </sub>X , the mod 2 equivariant cohomology of X (which means that we can replace, in the definition of the algebraic complex, H*<sub> V </sub>X with any unstable H* V -A -module). Both complexes are of length dim<sub>ℤ/2</sub> V and can be coaugmented over H*<sub> V </sub>X ; furthermore we construct a morphism k from the algebraic complex into the topological complex, compatible with the coaugmentation.
We show in particular that both coaugmented complexes are acyclic if and only if H*<sub> V </sub>X is free as an H* V -module. In this case k is an isomorphism.
