Cet ouvrage est la suite de Algèbre et théorie des nombres.

Cryptographie, Primalité paru dans la même collection. Il est cependant

largement indépendant de ce tome, grâce à des rappels fréquents.

Il commence par un traitement classique de la théorie de Galois avec ses

deux volets : théorie des groupes et celle des extensions de corps.

Certaines questions se trouvent ici particulièrement approfondies,

notamment le calcul du groupe de Galois d'une équation algébrique, le

caractère algébriquement clos du corps des nombres complexes, les

bases intégrales des anneaux d'entiers des corps de nombres, le théorème

de Dirichlet sur les nombres premiers dans une progression arithmétique...

Il se poursuit par une étude introductive à la théorie moderne des codes

correcteurs d'erreurs : théorème de Shannon, problème central du

codage, codes linéaires et codes cycliques. La notion de classe cyclotomique

dans un corps fini trouve ici des applications intéressantes.

Le dernier tiers est consacré à la géométrie et à ses liens avec l'arithmétique.

Après une étude des groupes classiques et des géométries

affines et projectives, on passe aux courbes algébriques planes, aux

courbes elliptiques et aux nombres congruents. On fait le point sur ces

nombres dont la détermination reste un problème majeur de la géométrie

arithmétique et encore largement ouvert.

Ce livre a été conçu à l'origine pour les étudiants du second cycle et pour

les candidats à l'agrégation. Les deux derniers chapitres s'adressent plutôt

aux étudiants des masters (niveau 2) et aux enseignants.