Le présent ouvrage étudie les transformations

conformes du demi-plan supérieur de C sur les intérieurs

de certains polygones dont les côtés sont des segments

ou des arcs de cercle. Parmi ces polygones figurent

les triangles habituels, mais aussi ceux dont les côtés

sont curvilignes. Les fonctions inverses, qui appliquent

donc des intérieurs de polygones sur le demi-plan

supérieur, tout particulièrement lorsque ces polygones

sont des rectangles ou des triangles dont les trois angles

sont ou nuls ou égaux à Pi/ p où les nombres p sont des

entiers, sont définies à l'aide de fonctions méromorphes

et doublement périodiques qui sont des fonctions

elliptiques. L'existence d'une telle fonction inverse est

liée à la propriété selon laquelle ces rectangles ou ces

triangles engendrent, par des symétries répétées par

rapport aux côtés, un recouvrement du plan complexe

ou du demi-plan ou d'un disque ouvert de C, réalisant

ainsi des généralisations des pavages que l'on connaît

bien quand ils sont construits avec, par exemple, des

triangles équilatéraux.

Les bases nécessaires à cette étude font intervenir

la théorie de la variable complexe, les prolongements

analytiques par symétrie et une mise en place minimum

des définitions et des propriétés des fonctions elliptiques

et des fonctions modulaires.

Ce livre servira aux étudiants de master des universités,

leur apportant des exemples de transformations

conformes où l'étude est basée sur la manipulation de

fonctions définies par des intégrales, leur donnant des

indications sur une famille de fonctions spéciales liées

aux fonctions elliptiques, leur fournissant également

des méthodes de comparaison de fonctions fondées sur

l'analyse de leurs points singuliers.