L'analyse non linéaire sur les variétés constitue le lieu privilégié des mathématiques où se rencontrent théorie des EDP et géométrie Riemannienne. Cadre de référence de la théorie de la relativité générale, les variétés sont une extension naturelle des espaces euclidiens.

Cet ouvrage débute par une introduction détaillée à la géométrie différentielle et à la géométrie Riemannienne. Suit une présentation des concepts, des éléments, et des outils nécessaires à l'analyse sur les variétés. Une large place est réservée à l'étude des problèmes de courbure scalaire prescrite, en particulier les problèmes de Nirenberg et de Yamabe. Le texte s'achève par une présentation de la théorie de Hamilton concernant la recherche de métriques à courbure sectionnelle constante.

Inspiré des enseignements de 3ème cycle donnés par l'auteur, ce livre s'adresse aussi bien aux étudiants qu'aux chercheurs en mathématiques, mathématiques appliquées, et physique théorique.