Ce volume 2 est consacré à de nouveaux théorèmes d'existence de courbes invariantes par les difféomorphismes de l'anneau qui sont des perturbations de difféomorphismes complètement intégrables déviant la verticale. Les nombres de rotations de ces courbes seront toujours de type constant. Classiquement, on considère des perturbations en topologie C^3+bêta, bêta > à 0. Ce volume cherche à cerner l'étude en topologie C³ ou dans des espaces de Besov. Ceci nécessite l'introduction systématique des espaces Sobolev.

Nous montrons au chapitre V la persistance des courbes invariantes par les difféomorphismes de classe C³ préservant les aires, globalement canoniques, proches en topologie C³ d'un difféomorphisme complètement intégrable. Au chapitre VI le théorème de la courbe translatée est généralisé aux perturbations dans des espaces de Besov et le chapitre VII contient une démonstration élémentaire de ce théorème pour les perturbations en topologie C⁴. Le chapitre VIII permet d'expliquer mathématiquement l'existence de courbes invariantes pour certains homéomorphismes linéaires par morceaux du plan, préservant les aires, ce qui avait été constaté numériquement par l'astronome C. Froeschlé en 1968.