L'arithmétique classique existe depuis l'Antiquité, et s'est développée tout au

long des siècles. Pierre de Fermat l'a marquée de son empreinte. Gauss a beaucoup

développé l'arithmétique modulaire notamment avec les notions de congruences,

de résidu quadratique, etc, et a démontré de nombreuses propriétés dans ce

domaine. Pendant environ deux siècles, cette discipline s'est développée sans

aucune application concrète. La seconde moitié du XX^e siècle a elle été caractérisée par

l'arrivée de nombreuses applications dont la cryptographie et, dans une moindre

mesure, les techniques de codes correcteurs d'erreurs qui sont

maintenant très utilisées en transmission. Cette arithmétique s'est immiscée

un peu sournoisement dans notre vie courante : numéro de sécurité sociale, transmissions

sécurisées par Internet pour les transferts d'argent, et bien d'autres choses

encore.

Divers problèmes amusants se traitent assez facilement avec ces techniques.

L'arithmétique modulaire tome III est également utilisée pour démontrer des

propriétés de l'arithmétique classique, ce qui explique les liens entre ces trois

tomes complémentaires.

Ce tome III présente de nombreuses notions : les congruences, les polynômes en

arithmétique modulaire, les résidus quadratiques, cubiques et biquadratiques, les

symboles de Legendre et de Jacobi, les racines primitives, le logarithme discret,

les équations en arithmétique modulaire, les grands nombres premiers et pseudo-premiers

et une ouverture vers la cryptographie.

Cette discipline est souvent présentée sous une forme difficile à assimiler, et

même parfois rebutante, en partie à cause du vocabulaire utilisé et en grande

partie par la quasi-absence d'exemples et d'exercices. Pour ces raisons, l'auteur a

délibérément choisi de privilégier l'aspect pédagogique avec de nombreux

exemples et exercices corrigés quitte à omettre certaines démonstrations trop longues

ou trop difficiles.