Ce mémoire est consacré à la résolution du problème de Plateau à bord polygonal

dans l'espace euclidien de dimension trois. Il s'appuie sur la méthode de

résolution proposée par René Garnier dans un article méconnu, voire inconnu,

publié en 1928. L'approche de Garnier est très différente de la méthode variationnelle,

elle est plus géométrique et constructive, et permet d'obtenir des

disques minimaux sans point de ramification. Cependant, elle est parfois très

compliquée, voire obscure et incomplète. On retranscrit sa démonstration dans

un formalisme moderne, tout en proposant de nouvelles preuves plus simples,

et en en complétant certaines lacunes. Ce travail repose principalement sur

l'utilisation plus systématique des systèmes fuchsiens et la mise en évidence du

lien entre la réalité d'un système et sa monodromie.

La méthode de Garnier repose sur le fait que, par la représentation de

Weierstrass spinorielle des surfaces minimales, on peut associer une équation

fuchsienne réelle du second ordre, définie sur la sphère de Riemann, à tout

disque minimal à bord polygonal. La monodromie de cette équation est déterminée

par les directions orientées des cÃ(...)tés du bord. Le bon point de vue

consiste à considérer des polygones pouvant avoir un sommet en l'infini. Pour

résoudre le problème de Plateau, on est donc amené à résoudre un problème de

Riemann-Hilbert. On procède ensuite en deux étapes : on construit d'abord,

par déformations isomonodromiques, la famille de tous les disques minimaux

dont le bord est un polygone de directions orientées données. Puis on montre,

en étudiant les longueurs des côtés des bords polygonaux, qu'on obtient ainsi

tout polygone comme bord d'un disque minimal.